一元二次、三次、四次方程的求根公式
整理自Joseph J. Rotman的《Advanced Modern Algebra》（Part 1，2015）的Chapter A-1。
一元二次方程求根公式
对于一元二次方程：
\[ ax^2+bx+c = 0 \]
通过配方可以得到：
\[ (x+b/2a)^2 = -c/a+b^2/4a^2 \]
令判别式为：
\[ \Delta = b^2-4ac \]
可以得到求根公式为：
\[ x_1 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \] \[ x_2 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \]
一元三次方程求根公式
对于一元三次方程：
\[ ax^3+bx^2+cx+d = 0 \]
做变量代换\(X = x-\frac{b}{3a}\)得到不包括二次项的形式：
\[ x^3+qx+r= 0 \]
可以得到求根公式为：
\[ x_1 = g+h \] \[ x_2 = \omega g + \omega ^2 h\] \[ x_3 = \omega ^2 g + \omega h \]
其中：
\[ g^3 = \frac{-r+\sqrt{R}}{2} \] \[ h = -\frac{q}{3g} \]
其中：
\[ R = r^2+\frac{4}{27}q^3 \] \[ \omega = -\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2} \]
一元四次方程求根公式
对于一元四次方程：
\[ ax^4+bx^3+cx^2+dx+e = 0 \]
做变量代换\(X = x-\frac{b}{4a}\)得到不包括三次项的形式：
\[ x^4+qx^2+rx+s = 0 \]
左边可以化为一元二次方程的形式：
\[ x^4+qx^2+rx+s = (x^2+jx+l)(x^2-jx+m) \]
可以求得：
\[ l+m-j^2 = q \] \[ j(m-l) = r \] \[ lm = s \]
前两个方程可以得到：
\[ 2m = j^2 + q + r/j \] \[ 2l = j^2 + q - r/j \]
代入第三个方程，可以得到\(j^2\)的三次方程：
\[ (j^2)^3 + 2q(j^2)^2 + (q^2-4s)j^2 - r^2 = 0 \]
通过一元三次方程的求根公式，可以得到\(j^2\)，然后得到\(m\)和\(l\)，再利用一元二次方程的求根公式得到最终的结果。